Tečny kuželoseček

STÁHNUTELNÁ VERZE OBSAHUJE GRAFY, VZORCE A JE SPRÁVNĚ ZFORMÁTOVÁNA

Tečny kuželoseček

Kuželosečky máme celkem 4. Kružnice, elipsa, hyperbola a parabola.
DEF:Tečna kružnice je přímka, která má s kružnicí právě jeden společný bod.
DEF:Přímka ležící v rovině elipsy, která má s elipsou společný právě jeden bod, je tečnou elipsy.
DEF:Tečna hyperboly je přímka ležící v rovině hyperboly, která se jí dotýká v jednom bodě dotyku.
DEF:Tečna paraboly je přímka, která se jí dotýká právě v jednom bodě dotyku.
DEF:Tečna křivky v jejím bodě A je limita posloupnosti přímek AB, kde B je bod křivky různý od A, jestliže se B blíží k A. Bod A je potom bodem dotyku tečny.
Tečna kružnice:
Kružnice:
Tečna kružnice:

Př:Dokažte, že každé t R leží bod K[2 + 3.cos t ; 7 + 3 sin t] na kružnici se středem S[2;7] a poloměrem r = 3



Př: Určete tečny kružnice procházející bodem dotyku T[3;y] a určete odchylku těchto tečen.

Př:Najděte rovnici kružnice, která prochází body A[5;2], B[7;4] a dotýká se osy x.

S[m;n]
n=r




Př:Pod jakým úhlem jde vidět kružnice z bodu M[5;5]


t1: x - 2y + 5 = 0
t2: 2x – y + 5 = 0



Př: Řešte derivací: a

2 x + 2 yy‘ = 0



Tečna:

ELIPSA
Tečna:
Př: Je dána elipsa a bod M[0;-3]
a) Dokažte, že M je vnějším bodem elipsy
b) Napište rovnice tečen elipsy procházející bodem M
c) Vypočtěte odchylku těchto tečen.

a) dosadíme bod M do rovnice elipsy, dostaneme, že 84-45>0
b) Rovnice tečny má tvar
Tomu odpovídá 9.(-3).y1=45

Dosadíme do rovnice elipsy a po úpravě dostaneme body

t: 2x - 3y – 9 = 0
2x + 3y + 9 = 0
c)

HYPERBOLA


Př:Je dána hyperbola xy=2 a kružnice
Napište rovnice tečen v jednom jejich společném bodě.
Nejprve zjistíme společné body kružnice a hyperboly.
Získáme dva body :

Tím už můžeme zpaměti napsat rovnice tečny.
Y=-x+2Ö2


Př:Najděte tečny hyperboly rovnoběžné s přímkou y = 2x
t: y = 2x + c


PARABOLA

Př:Parabola (y - 4)2 = 2·(x - 5)a bod M[-5;1]



Derivací k tečnám:

y=f(x)
y’=f’(x0 ) = k - směrnice tečny

t: f(x)….
y’(x0)=f

t: y - y0 = k (x – x0)

y = k.x + q
kx – y + q = 0

Př: Najděte tečnu z bodu T[2;1] k hyperbole